Cos’è una crescita esponenziale?

Francesco M. Donini

Questa pandemia, così iper-raccontata dai media e così carica di dati giornalieri da interpretare, è un’occasione per capire meglio alcune caratteristiche delle crescite (e decrescite, speriamo presto) nel tempo. Anche prima di questa pandemia si parlava spesso, ma talvolta a sproposito, di crescita esponenziale, solo per intendere una crescita molto veloce. Ma non tutte le crescite sono esponenziali; e altre, che non lo sembrano, lo sono. Comunque, le crescite nei fenomeni biologici raggiungono sempre una cosiddetta “saturazione”, dovuta al fatto che, di qualunque cosa tangibile si stia parlando, sulla Terra ve ne è comunque una quantità finita.

Vorrei illustrare questi argomenti, brevemente e semplicemente; chiedo scusa ai lettori già informati per il tono didattico.

Crescite esponenziali

Gli aneddoti sulle crescite esponenziali sono diffusi, ognuno forse ne avrà sentito almeno uno nella vita. Uno molto noto è quello del contadino che vede una ninfea nel suo stagno, che raddoppia di dimensione ogni giorno; sa che deve estirparla, ma non c’è fretta. Dopo 15 giorni vede che ha coperto metà dello stagno, e l’aneddoto chiede quanto tempo ha ancora il contadino prima che la ninfea copra l’intero stagno. Quando questo aneddoto veniva proposto alcune decine di anni fa, aveva un senso didattico, perché molte persone rispondevano che il contadino aveva ancora 15 giorni, mentre invece deve agire subito, perché il giorno dopo la ninfea avrà coperto tutto lo stagno.

Questa quarantena che stiamo vivendo, è mirata a ridurre il contagio: spesso si cita il numero (medio) di nuovi contagiati per persona contagiata (detto anche fattore di riproduzione), indicato in epidemiologia con il simbolo R0. Se nel momento iniziale della diffusione, uno studio ha stimato che questo numero fosse tra 2 e 4 (cioè: in media, ogni persona contagiata ne contagiava altre due, tre o quattro), il distanziamento sociale sta riducendo fortemente questo fattore. La relazione tra il numero di nuovi contagiati e la crescita esponenziale si vede bene se si immaginano le persone via via contagiate su quello che in Informatica si chiama “diagramma ad albero”. Guardate nella seguente animazione, la diffusione in giorni con R0=2 (potete aumentare il numero dei giorni, ma a seconda del vostro schermo, da un certo valore in poi potrebbero esserci dei problemi di visualizzazione):

Ad ogni giorno, il numero dei nuovi contagiati raddoppia: da 1 si passa a 2, il secondo giorno a 4, il terzo a 8, il quarto a 16. Dopo n giorni, il numero dei nuovi contagiati sarebbe 2 n. Ecco la crescita esponenziale: il numero dei contagiati aumenta come una potenza che ha ad esponente il numero dei giorni ‐ cioè il tempo.

Incrementi percentuali

Un aspetto meno noto dei fenomeni di crescita nel tempo è che anche la crescita in percentuale, se ripetuta nel tempo, genera una crescita esponenziale.

Immaginiamo una quantità iniziale: ad esempio, 10. Supponiamo che questa quantità aumenti del 10% ogni giorno: che tipo di crescita vi aspettate che accada? La risposta è che è ancora una crescita esponenziale, solo più lenta. Per vederlo, un modo è osservare che la nuova quantità si ottiene a partire dalla precedente moltiplicandola per 1,1 ‐ infatti 1,1=(1 + 1/10), cioè, moltiplicare una quantità per 1,1 equivale ad aggiungere a se stessa il suo decimo. E quindi la quantità iniziale da 10 passa a 10×1,1 = 11. Si potrebbe pensare che al prossimo incremento si passerà a 12, ma non è così: 11×1,1=12,1. Osservate come cresce la quantità dopo giorni (potete cambiare questo valore), nella tabella sottostante:

Dopo 7 giorni, la quantità è circa raddoppiata. Allora se una quantità, come il numero dei contagiati da un morbo, aumenta del 10% ogni giorno, allora essa raddoppierà in (poco più di) una settimana, quadruplicherà in due settimane, diventerà otto volte tanto in tre settimane, e così via. Come mai? L’ultima colonna chiarisce il nesso: raccogliendo insieme i fattori ‐ ad esempio, per 4 giorni: (1,1×1,1×1,1×1,1)=(1,1) 4 ‐ si vede che anche in questo caso, la crescita segue una potenza che ha ad esponente il numero dei giorni ‐ cioè, il tempo. Quindi è ancora una crescita esponenziale.

La luce in fondo al tunnel

Per concludere con una nota positiva, devo esulare leggermente dal mio campo ‐ data la situazione, gli specialisti me ne scuseranno. I fenomeni biologici non hanno mai un andamento esponenziale puro, perché le risorse su cui essi si basano, per quanto grandi (come i 7 miliardi di popolazione umana), sono limitate. Nel caso dei contagi, le persone già contagiate e guarite, oppure quelle che hanno una qualche immunità, non si contagiano ancora, grazie alla memoria del nostro sistema immunitario.

Una curva sigmoide. CC BY-SA 3.0, Da Wikipedia

Questo fa sì che i fenomeni biologici si possano descrivere con un andamento nel tempo che, rappresentato su un grafico, cartesiano, segue all’incirca un tipo di curva detta sigmoide (che a dispetto del nome non ricorda la lettera greca “σ”, quanto la lettera latina “s”)

Una curva sigmoide ha, all’inizio, una crescita che segue da vicino una crescita esponenziale, e può essere quindi confusa con essa. Ma arriva un momento (il famoso “picco della crescita”) dopo il quale la crescita rallenta, man mano che le risorse coinvolte nel fenomeno biologico si esauriscono ‐ nel nostro caso, le persone infettabili e non ancora infettate ‐ e la crescita rallenta fino a raggiungere un massimo M su cui si ferma. Il rallentamento è speculare all’accelerazione: ad esempio, se la crescita che accelera seguisse l’andamento 2,4,8,… la crescita che decelera seguirebbe l’andamento M×(1-1/2), M×(1-1/4), M×(1-1/8),… fino a fermarsi su un massimo M ‐ come tutti ci aspettiamo presto.

Attenzione però: grazie al distanziamento sociale, la sigmoide non “satura” quando arriva a tutta la popolazione, ma molto prima: moltissime persone non sono infettabili, grazie all’isolamento che le protegge. Se questo isolamento venisse a cadere, la crescita riprenderebbe, fino al successivo livello di saturazione.

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